"Quel est le nombre qui au cube est égal à quinze fois lui-même plus quatre ? ".
Ce problème s’écrit sous la forme : x³ = 15x + 4 Equation (1)
Si on pose x = u + v on aura alors :
x³ = (u+v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³
x³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³
x³ = 3u²v + 3uv² + u³ + v³
x³ = (3uv) (u + v) + u³ + v³
donc u³ + v³ = 4 u³ + v³ = 4 u³ + v³ = 4
3uv = 15 uv = 5 u³ v³ = 125
u³ et v³ sont solutions de l'équation : T² – 4T + 125 = 0
ici
=
16 – 4(125) = 16 – 500
= – 484
= 
=
=
22
= 22
i
On arrive à u³ = 2 + 11i et v³ = 2 – 11i
Extrayons maintenant la racine cubique de u3 pour avoir u .
On connaît u³ = 2 + 11i
On pose u = a+bi
tel que
u = 3
u3 = (a+bi)3 = a3 – 3ab² + (3a²b – b3)i
Par association on a :
2 = a3 – 3ab²
11 = 3a²b – b3
Il faut trouver les réels a et b qui vérifient les 2 égalités suivantes :
Cherchons a et b par tâtonnement. Prenons 2 pour a :
2 = a3 – 3ab²
2 = 8 – 6b²
– 6 = – 6b²
1 = b²
1 = b
Pour a = + 2 on aurait b = + 1
donc 3 2 + 22i = 2 + i = u
Vérifions la 2° égalité en utilisant a = +2 et b = +1
3a²b – b3c = 3 (2)²(+1) – (+1)3
= 12 – 1
= 11 OK !Finalement :
u
= 3
=
2 +
i
v
= 3
= 2
–
i
x1 = u + v = 2 + i + 2 – i = + 4
L’équation (1) peut s’écrire dans sa forme canonique :
(x – 4)(ax2 + bx + c) = 0 Equation (2)
En développant, on arrive à :
ax3 + bx² + cx – 4ax² – 4bx – 4c = 0
ax3 + (b – 4a)x² + (c - 4b)x – 4c = 0
Donc par similitude avec x³ – 15x – 4 = 0 on a :
a = 1 a = 1 a = 1
b – 4a = 0 b = 4a b = 4
c – 4b = –15 c = – 15 + 4b c = –15 + 16 = 1
Donc l'équation (x – 4)(ax2 + bx + c) = 0 peut aussi s’écrire :
(x – 4)(x2 + 4x + 1) = 0
Les 2 autres solutions sont les solutions de x2 + 4x + 1 = 0
dont
le discriminant est
= 16 –
4(1) = 16 –
4 = 12
Soit x2
= – 2 + 
x3
= – 2 –
